Простейшие свойства числовых рядов

Если ${} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} {}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$ сходятся, то $\forall{\alpha, \beta} \in \mathbb{R}\mathpunct{:}~ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (\alpha a_{n} + \beta b_{n})$ сходится и $$\sum_{n=1}^{\infty} (\alpha a_{n} + \beta b_{n}) = \alpha\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} + \beta \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$$

$$\sum_{k=1}^{n} (\alpha a_{k} + \beta b_{k}) = \alpha\sum_{k=1}^{n} a_{k} + \beta \sum_{k=1}^{n}b_{k}$$ Запишем равенство для конечных сумм и устремим $n$ к бесконечности. $\square$

Если ${} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} {}$ сходится, то $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$, полученный группировкой $a_{n}$, сходится, причем к той же сумме.

Пусть $S_{n}$ - частичная сумма исходного ряда, а $\widetilde{S}_{n}$ - частичная сумма сгруппированного ряда. Заметим, что $\widetilde{S}_{n}$ - подпоследовательность $S_{n}$, а значит $\{\widetilde{S}_{n}\}$ сходится к тому же числу. $\square$ Пример: Пусть: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + (a_{2} + a_{3} + a_{4}) + (a_{5} + a_{6}) + \dots$ Тогда: $\widetilde{S}_{1} = S_{1}, ~ \widetilde{S}_{2} = S_{4}, ~ \widetilde{S}_{3} = S_{6}$